В 1742 году Христиан Гольдбах в письме Леонарду Эйлеру сформулировал предположение, получившее в дальнейшем название "Тернарной проблемы Гольдбаха": каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. В ответ Эйлер выдвинул аналогичное предположение, получившее название "Бинарной проблемы Гольдбаха": каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Эти гипотезы носят также названия "Нечётной" и "Чётной проблемы Гольдбаха" соответственно.

При решении данной проблемы было получено много замечательных результатов, в том числе советскими математиками. Некоторые из этих результатов можно было бы назвать "условными", в том смысле, что они либо опираются на открытые проблемы (например, на гипотезу Римана) либо дают положительный ответ на проблемы Гольдбаха для очень больших чисел. В этой связи чрезвычайно интересными представляются "безусловные" результаты, например, утверждения, подобные проблемам Гольдбаха, но верные для всех чисел. Именно в этом контексте принято говорить о "Нечётной" и "Чётной проблеме Гольдбаха".

На данный момент наилучшим для Чётной проблемы Гольдбаха является результат О. Рамарэ, представленный в 1995 г.: любое чётное число — сумма не более чем 6-и простых чисел.

1 февраля 2012 года австралийский математик Теренс Тао, работающий в Калифорнийском Университете (Лос-Анжелес), выложил в Архив статью “Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes“. Подробнее см. блог Т. Тао.

НОВОСТИ С ПОЛЕЙ. В мае 2013 года перуанский математик Харальд Хелфготт (Harald Helfgott), работающий в Парижской Высшей Нормальной школе, предложил доказательство Тернарной Проблемы Гольдбаха. Доказательство использует численную верификацию Расширенной Гипотезы Римана для начальных значений параметров, выполненную Д. Платтом (D. Platt). Следует отметить, что этот результат позволяет улучшить результат О. Рамарэ для Чётной проблемы Гольдбаха: любое чётное число - сумма не более 4-х простых чисел.