В 1972 году Ефим Зельманов поступил на механико-математический факультет Новосибирского государственного университета. Интересно отметить, что он был принят на первый курс “кандидатом”, то есть с условием успешной сдачи первой сессии. Условие это было им выполнено и в 1977 году он успешно заканчивает ММФ НГУ и поступает в аспирантуру. Диссертацию на соискание степени кандидата физико-математических наук Зельманов защищает в 1980 году в Новосибирске под руководством А.И. Ширшова и Л.А. Бокутя, а степень доктора наук получает в 1985 году в Ленинграде.

Работы Зельманова этого периода составили основу явления, названного “русской революцией” в йордановых алгебрах 1977--1983 гг. Понятие йордановой алгебры появилось в 1930-х годах в работах Паскаля Йордана, провозгласившего совместно с Е. Вигнером и Дж. фон Нейманом программу поиска нового алгебраического формализма квантовой механики, который позволил бы избавиться от не имеющих физического смысла промежуточных шагов в вычислении квантовых наблюдаемых. С точки зрения физики эта программа не принесла больших успехов (финальную точку в ней поставили именно работы Зельманова), но возникшая на ее основе алгебраическая теория получила дальнейшее развитие и неожиданно “выстрелила” решением ослабленной проблемы Бернсайда.

Формализм йордановых алгебр основан на следующем элементарном свойстве эрмитовых операторов: если A и B - эрмитовы, то их композиция AB не обязательно такова (а все квантовые наблюдаемые в рамках популярной в 30-е годы модели квантовой механики являлись обязательно эрмитовыми), но симметризованное произведение A*B = AB+BA, очевидно, всегда эрмитово. Свойства операции * включают следующие тождества:

x*y = y*x,
(x*x)*(y*x) = ((x*x)*y)*x.

Это и есть аксиомы йордановой алгебры. Не все такие алгебры являются специальными, т.е. могут быть вложены в обычную ассоциативную алгебру относительно операции x*y = xy+yx. Примером исключительной алгебры является 27-мерная алгебра Алберта, состоящая из эрмитовых 3x3-матриц над алгеброй октонионов.

К середине 1970-х годов структурная теория йордановых алгебр была достаточно развита в работах таких математиков как Дж. фон Нейман, И. Капланский, Н. Джекобсон и др. Но очень многие естественные вопросы оставались открытыми, и разработанные на тот момент методы не могли помочь в их решении в общем случае, поскольку существенно опирались на те или иные условия конечности или наличие элементов специального вида. Оригинальные методы, разработанные Зельмановым, позволили решить все стоявшие на тот момент проблемы в структурной теории йордановых алгебр: классифицированы все йордановы алгебры с делением, описаны все невырожденные первичные (в частности, все простые) йордановы алгебры.

В частности, алгебра Алберта является единственной простой исключительной йордановой алгеброй (это было решением проблемы Йордана-Вигнера-фон Неймана и последним “гвоздем в крышку гроба” их программы).

Ранние работы Зельманова, посвященные структурной теории йордановых алгебр, сами по себе могли бы обеспечить ему место в ряду выдающихся алгебраистов XX столетия, но наиболее известным в самых широких кругах математиков является другое его достижение, относящееся к комбинаторной теории групп: решение ослабленной проблемы Бернсайда. Это достижение было отмечено самой престижной научной наградой в области математики - медалью Филдса, которую Зельманов получил на Международном математическом конгрессе в Цюрихе в 1994 году.

История проблемы Бернсайда заслуживает более подробного рассмотрения, поскольку наглядно показывает преемственность математических идей и внутреннее единство математики как рациональной науки. Кроме того, будучи чрезвычайно простой в своей формулировке, но требующей глубоких знаний и тонкой техники для даже частичного решения, данная проблема послужила для теории групп и смежных с ней областей таким же стимулом к развитию, каким для теории колец и алгебраической теории чисел была Большая теорема Ферма.

В 1902 году Уильям Бернсайд сформулировал следующую проблему: является ли конечной всякая конечно-порожденная группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок? Эта задача, которая часто упоминается как общая проблема Бернсайда, на самом деле была поставлена самим Бернсайдом с более сильным условием на группу (ограниченная проблема Бернсайда): является ли d-порожденная группа показателя n конечной?

Именно, если мы обозначим через B(d,n) группу, порожденную d элементами, в которой всякий элемент порядок всякого элемента делит n (показатель группы равен n), то верно ли, что B(d,n) - конечная группа? В ряде частных случаев ответ был найден еще в начале столетия: Маршалл Холл, в частности, доказал, что B(m,6) конечна, но мало что известно даже о группе B(2,5).

Поскольку до 30-х годов XX столетия не произошло существенных сдвигов в решении общей и ограниченной проблем Бернсайда, была сформулирована так называемая ослабленная проблема Бернсайда, которая состоит в следующем: существует ли для данных натуральных чисел d и n максимальная конечная d-порожденная группа с показателем n? Название “Restricted Burnside problem” исходит от Вильгельма Магнуса (1950). Положительное решение ослабленной проблемы Бернсайда эквивалентно тому, что группа B(d,n), сама не обязательно конечная, имеет максимальный конечный гомоморфный образ.

Общая и ограниченная проблемы Бернсайда были решены отрицательно: “первым звонком” послужила работа Е.С. Голода и И.Р. Шафаревича 1964 г. (знаменитый пример Голода-Шафаревича), где был построен пример бесконечной группы, в которой каждый элемент имеет конечный (но не равномерно ограниченный) порядок. В 1968 г. П.С. Новиков и С.И. Адян показали, что группа B(d,n) бесконечна для больших n.

В решении ослабленной проблемы Бернсайда следует отметить работу Ф. Холла и Г. Хигмана (1956), в которой показано, что для положительного решения ослабленной проблемы Бернсайда достаточно решить ее для показателей, равных степени простого числа, при условии, что верна гипотеза Шрайера о разрешимости групп внешних автоморфизмов конечных простых групп. (Заметим, что справедливость гипотезы Шрайера вытекает из классификации конечных простых групп.)

С другой стороны, еще в 1950 году В. Магнус показал, что для простых показателей n=p решение ослабленной проблемы Бернсайда сводится к обобщению классической теоремы для алгебр Ли: является ли всякая алгебра Ли с тождеством Энгеля степени p над полем характеристики p локально нильпотентной?

К тому моменту, когда Зельманов приступил к работе над ослабленной проблемой Бернсайда, перед ним стояло две основных проблемы. Во-первых, обобщить результат Магнуса, сведя проблему для n=p^k к задаче нильпотентности алгебр Ли с тождеством Энгеля. Это было сделано им в 1989 г. Во-вторых, следовало решить главную проблему: доказать локальную нильпотентность алгебры Ли с тождеством Энгеля. Важность решения этой задачи выходит за далеко за пределы комбинаторной теории групп и отражает фундаментальные закономерности алгебры, проявляющиеся всюду, где используются алгебры Ли - в геометрии, топологии, математической физике и других областях. Зельманов полностью решил эту задачу в двух работах, полностью покрывающих весь спектр значений n=p^k для всех простых p и натуральных k. Наилучшее представление о характере этих работ можно получить из слов Анера Шалева:

“Его потрясающее доказательство ... сочетает в себе удивительную техничность с чрезвычайно оригинальными идеями из различных дисциплин. Доказательство использует глубокую структурную теорию (квадратичных) йордановых алгебр, ранее разработанную Маккриммоном и Зельмановым, а также теорию разделенных степеней и другие инструменты; он также опирается на совместную работу Кострикина и Зельманова, в которой установлена локальная нильпотентность так называемой сэндвич-алгебры. В то время как алгебры Ли уже давно считаются естественной рабочей площадкой в контексте ограниченной проблемы Бернсайда, появление йордановых алгебр является беспрецедентным и весьма удивительным.”

Блестящие достижения Зельманова послужили основанием для его приглашения в западные университеты. Плачевное состояние Советского Союза накануне распада также способствовало его решению принять приглашение Университета Висконсин-Мэдисон, где он проработал с 1992 по 1994 годы. Затем он переехал в Чикагский университет, а оттуда вскоре перешел на должность профессора Йельского университета, где работал с 1995 по 2002 годы.

С 2002 года по настоящее время Е.И. Зельманов работает в Калифорнийском университете Сан Диего, активно сотрудничая Институтом математики им. Соболева, а также с развивающимися математическими институтами Китая, Кореи, Саудовской Аравии и других стран.

1. K. McCrimmon, The Taste of Jordan Algebras, Springer, 2003.
2. P. Jordan, J. von Neumann, E. Wigner, On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism, Annals of Mathematics 35 (1) (1934) 29–64.
3. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Burnside_problem.html
4. J. Lindenstrauss, L. C. Evans, A. Douady, A. Shalev and N. Pippenger, Fields Medals and Nevanlinna Prize presented at ICM-94 in Zurich, Notices Amer. Math. Soc. 41 (9) (1994), 1103-1111.
5. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Zelmanov.html