Вопрос о мощности множества простых чисел-близнецов – два простых числа называются близнецами, если разность между ними равна 2, то есть числа p и p+2 оба простые – многие десятилетия волнует умы математиков мира.

Почти сто лет назад норвежский математик Вигго Брун доказал, что ряд из величин, обратных к простым числам-близнецам, сходится к небольшой константе. Сравнивая этот результат со сходимостью ряда из величин, обратных к простым числам без ограничений, который, как известно, расходится, можно сделать вывод, что простых чисел-близнецов сравнительно немного среди всех простых чисел. Однако это не дает ответа на вопрос конечное или бесконечное это множество.

Помимо классической гипотезы о простых числах-близнецах рассматривают ее обобщения.  Одно из них состоит в следующем: существует ли натуральное k такое, что множество пар (p, p+2k), оба числа пары простые, является бесконечным. Очевидно, что при k=1 это классическая гипотеза о близнецах.

13 мая 2013 года на математическом семинаре Гарвардского университета китайский математик И Танг Джанг (Yi Tang Zhang), работающий в Нью-Гемпширском университете, анонсировал доказательство обобщенной гипотезы. Причем это доказательство содержит верхнюю оценку параметра k (в пределах нескольких десятков миллионов), и является, на удивление, довольно простым (идея изложена здесь). Автор уже подал эту статью в Annals of Mathematics и утверждает, что на данный момент рецензенты не нашли ошибок в доказательстве. Автор предполагает, что оптимизация доказательства позволяет понизить оценку для k.

НОВОСТИ С ПОЛЕЙ. 19 ноября 2013 года молодой математик Джэймс Мэйнард (James Maynard), работающий в Монреальском университете, представил на сайте arxiv.org статью "Small gaps between primes", в которой предложен новый подход к Обобщенной проблеме простых чисел-близнецов и показано, что k<300.