Немногие математические результаты привлекают внимание ведущих мировых средств массовой информации. Среди последних случаев можно упомянуть алгоритм полиномиальной сложности для проверки простоты чисел, предложенный индийскими математиками Агравалом, Каялом и Саксеной, доказательство гипотезы Пуанкаре, представленное россиянином Григорием Перельманом, а также гипотеза о простых числах близнецах.
14 ноября 1963 г. газета Нью-Йорк Таймс сообщила своим читателям: “Two of the most fundamental questions in mathematics today have been answered by Paul J. Cohen, a young Stanford University mathematician. The two questions had persisted for more than a quarter century. By answering them, Dr. Cohen demonstrated the power of modern mathematics. Ironically, he exposed some of its weakness as well".
История этого результата началась в 70-е годы XIX века. Молодой немецкий математик, уроженец Санкт-Петербурга Георг Кантор (1845-1918) начал свои исследования в чрезвычайно абстрактной области математики, которая известна сейчас как теория множеств. Хотя в наши дни теория множеств – это прочный фундамент современной математики, не все современники Кантора разделяли энтузиазм молодого математика, критикуя его исследования как слишком абстрактные и, поэтому, бесполезные (и даже вредные) для прогресса математики. Только спустя годы математики осознали важность этих проблем и их решений, появившихся при разработке канторовской (наивной) теории множеств.
На II Международном конгрессе математиков 1900 г. Давид Гильберт поместил континуум-гипотезу Кантора, сформулированную в 1877 г., на первое место в списке 23 важнейших проблем математики. Она утверждает: “Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным” (неформально, множества «промежуточной» мощности между счетным множеством и континуумом не существует).
Важный прогресс был достигнут в 1940 г., когда Курт Гёдель (1906-1978) доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в системе аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Доказательство опирается на предположение о непротиворечивости ZFC. Ранее К. Гёдель доказал, что отрицание аксиомы выбора не является теоремой ZF.
Окончательный ответ был получен в 1963 г., когда молодой американский математик Пауль Коэн (1934-2007) с помощью разработанного им метода форсинга доказал, что при предположении о непротиворечивости ZFC континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Таким образом, с учетом результата Геделя, континуум-гипотеза является независимой от ZFC. Аналогичное утверждение было получено и для аксиомы выбора. За эти результаты П. Коэн был награжден в 1966 г. Медалью Филдса.
Отметим ремарку Нью-Йорк Таймс об "ироничности" результатов Коэна: статус континуум-гипотезы делает многие важные математические результаты "условными". Поэтому, несмотря на ответ, данный Коэном, континуум-гипотеза и смежные вопросы до сих пор привлекает огромное внимание и является активной областью исследований. Математико-философское изложение текущего состояния дел можно найти в Stanford Encyclopedia of Philosophy. На кафедре математического анализа ММФ НГУ регулярно читается курс, посвященный данной проблематике.